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  • Agora

    Es común escuchar en el lenguaje cotidiano expresiones que en el ámbito de alguna disciplina particular determinan conceptos o ideas con una calidad muy especí­fica.

    Un ejemplo de estas ideas con diverso sentido es la muy famosa y extendida expresión â??el orden de los factores no altera el productoâ?.

    Dicha proposición es empleada coloquialmente para referir una situación en que diversas cosas o ideas son colocadas en posiciones diversas y distintas de las que originalmente les corresponde. Ello sin embargo no es motivo para que el sentido o significado cambie o sea distinto y aún incorrecto.

    Sin embargo, en las matemáticas, la referida expresión es la conceptuación de la importante â??ley conmutativaâ?. Esta regla fundamental de los números reales señala, de manera abstracta lo siguiente:

    Ley conmutativa. Dados los números reales A y B se tiene:

    A + B es igual a B + A,

    A * B es igual a B * A.

    Es decir, â??el orden de los sumandos o factores no altera la suma o el productoâ?. En otras palabras, no importa el orden en que se sume o en que se multiplique, el resultado siempre será el mismo.

    Sin embargo esto no siempre es cierto. Recordemos que la matemática abarca distintos conjuntos de números: naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (I), reales (R) y complejos (C). A su vez hay distintas estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, campos y espacios vectoriales. De la relación de los primeros con los segundos se crean distintos conjuntos numéricos en que se definen operaciones y propiedades particulares.

    El conjunto de números más extendido es el de los números reales (R). Cualquier número que venga en este momento a nuestra mente es, seguramente, un número real. Con estos es posible realizar cualquier operación de las más conocidas y aún las de la matemática superior (cálculo diferencial e integral en variable real). Sin embargo es posible crear conjuntos de â??númerosâ? en los que las operaciones y propiedades conocidas de los números reales no son validas, al efecto, la ley conmutativa.

    Por ejemplo, hablando de las denominadas matrices cuyo estudio es particular de la denominada Algebra Lineal, pueden ser operadas a través de los algoritmos de la suma y el producto, aunque este último no cumple la propiedad conmutativa, es decir, â??si A y B son dos matrices, A*B es distinto de B*Aâ?. En otras palabras â??y un poco a juego- no siempre el orden de los factores no altera el producto, es decir, muchas veces el orden es importante y determinante.

    * Carin es amante de los números, estudioso de la filosofí­a, abogado y amigo de El Enigma. Columnista de Solo-Opiniones

  • Ágora.

    Las relaciones entre fe y razón han sido un tema de profunda raigambre en el pensamiento filosófico y religioso.

    La tendencia de algunos pensadores ha sido diametralmente opuesta, esto es, establecer como base única, ya sea la sola razón o, en su lado opuesto, la fe.

    Estas tendencias antagónicas son, sin embargo, erróneas. Suponer que la fe es opuesta a la razón es demeritar en grado sumo la esencia misma del hombre.

    La fe, inicialmente, debe entenderse es el sentido sobrenatural, es decir, la disposición a del entendimiento para creer las Verdades Reveladas, fiados en la autoridad de Dios que las revela. En esta tesitura, se comprende que la fe es una gracia, es decir, un don de Dios.

    De entenderse que no hay oposición entre fe y razón. Esto es fácil de colegir a la luz de la naturaleza misma del hombre y que es calida con que el Creador nos ha investido. Recordemos que el hombre se define como un â??animal socialâ? y, sobre todo, como un â??ser racionalâ?. Esta racionalidad es un don que nos identifica con toda y de toda la creación. Dios ha hecho al hombre racional y le ha dado el dominio â??racionalâ? sobre el mundo.

    De esta manera si la razón proviene de Dios y la fe es una de las virtudes teologales que nos aproxima al Padre Celestial, en última instancia son lados de una misma moneda, acuñada por el amor de Dios y cuyo valor esta en el material que la forma: cuerpo, mente y espí­ritu hechos por Dios.

    Asimismo, el Catecismo de la Iglesia Católica determina que â??A pesar de que la fe esté por encima de la razón, jamás puede haber desacuerdo entre ellas. Puesto que el mismo Dios que revela los misterios y comunica la fe ha hecho decender en el espí­ritu humano la luz de la razón, Dios no podrí­a negarse a sí­ mismo ni lo verdadero contradecir jamás a lo verdadero (â?¦) si se procede de un modo realmente cientí­fico y según las normas morales, nunca estará realmente en oposición con la fe, porque las realidades profanas y las realidades de fe tienen su origen en el mismo Diosâ?.

    No hay ni debe haber contradicción entre las afirmaciones de la ciencia y las verdades de la fe. El hombre es una unidad formada por un estadio fí­sico, intelectual y mí­stico. Fe y razón son complementos en la inmanencia humana, no conceptos que deban sobreponerse uno con otro.

    * Carin es amante de los números, estudioso de la filosofí­a, abogado y amigo de El Enigma. Columnista de Solo-Opiniones

  • AGORA

    Dos principios fundamentales en los que descansa toda democracia contemporánea son el principio polí­tico de la soberaní­a popular y el principio jurí­dico de la división de poderes.

    Asimismo, dichos postulados inherentes a todo Estado de Derecho se relacionan cabalmente con los denominados Poder Constituyente y Poderes Constituidos.

    En principio, la soberaní­a popular cuyo primer término proviene de los vocablos latinos super y omnia, significa, etimológicamente, â??sobre todoâ?. Esto quiere decir que la soberaní­a es un poder encima del cual no puede pensarse otro. En un sentido, la soberaní­a puede entenderse como la facultad de un pueblo para gobernarse así­ mismo. La doctrina jurí­dica establece que la soberaní­a significa autodeterminación y autolimitación.

    La relación de esta categorí­a polí­tica con el concepto de Poder Constituyente es innegable a la luz del sentido que este último tiene. Recordemos que el Constituyente es el poder encargado de crear un nuevo orden jurí­dico materializado en una Ley Suprema, es decir, en una Constitución Polí­tica. El Poder Constituyente, para estar â??legitimadoâ? debe sostenerse en el principio de la soberaní­a popular.

    Por otro lado, la división de poderes, que en un sentido muy rudimentario puede encontrarse en la obra de Polibio, sin embargo tiene como a su delineador formal al pensador ilustrado francés Montesquieu. Este pensador señaló que para que el poder no fuera absoluto debí­a dividirse o separarse de un solo poder central. Como consecuencia de dicha teorí­a, quedó establecida la secular división de poderes: Legislativo, Ejecutivo y Judicial.

    La relación de este principio básico con los Poderes Constituidos es también necesaria, es decir, no puede pensarse de modo distinto a como es. Para entender esto debemos resaltar el sentido que tienen los Poderes Constituidos, los que nacen del orden jurí­dico establecido por la Norma Fundamental y que son los que gobiernan efectivamente. De ahí­ que los Poderes Constituidos tengan como base doctrinal la división de poderes, lo que se traduce en una división de facultades, la especialización en cada una de las actividades estatales y, finalmente, el equilibrio del poder. En última instancia, los pesos y contra pesos del poder.

    * Carin es amante de los números, estudioso de la filosofí­a, abogado y amigo de El Enigma. Columnista de Solo-Opiniones

  • ÁGORA por Carin

    La aritmética elemental nos enseña lo relativo a los números y los algoritmos fundamentales con que podemos operar aquellos. Basta que recordemos nuestras clases de primaria para aquilatar el enorme valor que dicha información proporcionó a nuestra ulterior formación.

    Pero esa aritmética nos enseña no sólo esos problemas básicos que, en ese momento, parecí­an irresolubles, sino que además nos presenta temas curiosos e interesantes. Al respecto, uno de ellos es el relativo a la construcción de todos los números a partir de la combinación de unos cuantos de ellos y el uso de las operaciones básicas. Al efecto se tiene el famoso problema de los cuatro cuatros que plantea la construcción de una sucesión de números a través del sólo uso de cuatro números, siendo todos ellos números â??cuatroâ?. Así­ se puede dar la siguiente sucesión de números:

    0 = 4 + 4 â?? 4 – 4
    1 = 44 / 44
    2 = (4/4) + (4/4)
    3 = (4 + 4 + 4) / 4
    4 = 4 + 4(4 â?? 4)
    5 = [(4)(4) + 4] / 4
    6 = [(4 + 4) / 4] + 4
    7 = (44 / 4) – 4
    8 = (4 + 4) + (4 â?? 4)
    9 = (4 + 4) + (4 / 4)
    10 = (44 â?? 4) / 4
    â?¦
    La teorí­a establece que es posible construir la sucesión de números hasta el â??cienâ? con sólo esos cuatro cuatros y la extensión de las operaciones básicas, es decir, incluyendo, por ejemplo, la potenciación, v.gr. un cuatro elevado a otro cuatro.

    Como puede verse, la matemática incluye algunos temas â??divertidosâ? que son, además de curiosidades matemáticas, temas de discusión en la teorí­a de números

    * Carin es amante de los números, estudioso de la filosofí­a, abogado y amigo de El Enigma. Columnista de Solo-Opiniones.

  • ÁGORA por Carin

    El miércoles ocho de septiembre del año en curso fue celebrado, como cada año, la natividad de la Virgen Marí­a.

    Esta ocasión, sin embargo, fue especial. Lo anterior en relación con la ya importante conmemoración del año que corre, esto es, doscientos años del inicio de la guerra de independencia. Al efecto, las personalidades reunidas en la plaza de la Basí­lica de Guadalupe expresaron la condición especial que nos reuní­a a todos aquella tarde soleada de septiembre. La festividad se realizarí­a de manera muy especial al rezar un rosario a través de ocho estaciones establecidas al efecto.

    Dicha celebración se relaciona de manera muy especial con el evento que se preparaba para los dí­as quince y dieciséis del mismo mes. Debemos tener en consideración que el Acontecimiento Guadalupano se presentó diez años después de la caí­da de la Gran Tenochtitlán, esto es, en 1531.

    El Nican Mopohua, es decir, el relato de las apariciones de la Virgen de Guadalupe, refiere el mensaje de la Madre de Dios a los mexicanos. La expresión â??a todos los que viven en unoâ?, es decir, â??a todos vosotros juntos los moradores de esta tierraâ?¦â?. Esta expresión es de fundamental importancia al expresar una idea hermosa y necesaria: la unidad del pueblo mexicano.

    La maravillosa idea transcrita por Antonio Valeriano da muestras del espí­ritu de renovación y esperanza que Santa Marí­a de Guadalupe lega a todos los mexicanos. Y esta es precisamente la importancia del mensaje: el abolir la diferencia y división de â??los mexicanosâ?, sin distinción de razas, como un mismo pueblo.

    Al abrigo de este maravilloso mensaje de la Reina del Cielo, se confirma la igualdad entre los hombres y la esperanza por una sociedad que abarque todos a todos los hombres y mujeres en una comunión indisoluble y, con ello, el nacimiento de la mexicanidad. De lo anterior se colige que la verdadera nacionalidad mexicana se delinea antes de 1821 y, naturalmente antes de 1810, la fecha exacta: nueve de diciembre de 1531.

  • ÁGORA, Por Carin

    La historia de la filosofí­a nos ilustra claramente sobre el desarrollo de esta rigurosa disciplina del pensamiento, poniendo en escena tanto a los actores de la misma como el pensamiento luminoso expresado por ellos.

    El estudio de esta disciplina nos pone cara a cara con las múltiples visiones que tuvieron o tienen los filósofos del pasado o presente, evidenciándose en todo pensador una metodologí­a propia, particular, como base para toda la reflexión ulterior.

    De dicha disciplina se desprenden métodos como â??dialécticaâ? (Platón, Hegel), deducción (Aristóteles, Descartes), inducción (Francis Bacon), reducción al absurdo (Parménides), intuición (Henry Bergson), fenomenológico (Edmund Husserl), etc. Hablemos en esta ocasión de un método muy especial: el método socrático.

    Recordemos que Sócrates, maestro de Platón, es uno de los grandes filósofos de la Grecia antigua. Trasciende no sólo por su pensamiento moral, sino por su vida misma que fue un ejemplo de virtud, congruencia e integridad. Las fuentes para entender el pensamiento del filósofo son, no sólo las obras de Platón, Jenofonte, Aristóteles o aún las crí­ticas â??en muchos casos excesivas- de Aristófanes, sino la vida y aún la muerte de este sí­mbolo de conocimiento y virtud.

    El método socrático, mejor conocido como mayéutica, significa â??parirâ?. Y es que Sócrates, hijo de una partera, se califica a sí­ mismo como un partero de almas. El método socrático es una serie de pasos que parten desde la serie de preguntas que Sócrates realiza a su interlocutor. Seguidamente, y ante la ignorancia de sus interlocutores, Sócrates propone una hipótesis. Finalmente esta proposición deber ser demostrada igualmente por quien participa con Sócrates en la búsqueda de la verdad. En este último caso Sócrates procede con su método de preguntas.

    De la lectura de los Diálogos de Platón se desprende que Sócrates nunca llega a respuestas definitivas. Sin embargo, mucho más importante que las conclusiones a las que pudiera haberse llegado (muchos problemas quedaron abiertos para los pensadores que le sucedieron) es la mecánica misma del método, y que lleva a todo un sistema de preguntas que deben ser adecuadas para resolver un problema o, en su caso, anular la â??validezâ? de una proposición falsa.

  • AGORA por Carin

    Se dice que la historia del pensamiento occidental tiene sus orí­genes en la reflexión de los primeros filósofos griegos. En este sentido las ideas primigenias del filósofo y matemático jónico Tales de Mileto dan muestra del espí­ritu de cambio y de meditación diversa a la de sus antepasados. Es iniciador y, con todo merito, es llamado el padre de la filosofí­a griega.

    Sin embargo no debemos soslayar la presencia e influencia que ejercieron dos escritores anteriores a Tales: Homero y Hesí­odo. El primero, rapsoda, canta los legendarios sucesos de la guerra de Troya, así­ como el largo retorno del personaje que ideo el fatal Caballo del mismo nombre. Por su parte, Hesí­odo completa el cuadro que da forma a los fundamentos seculares que serán base, directa o indirecta, para el pensamiento ulterior.

    ¿Cómo entender lo anterior? La obra homérica delinea un mundo armónico y perfecto gobernado por dioses que participan directamente en el desarrollo de la historia humana. Homero confronta a dioses con hombres y a éstos con semidioses. La virtud básica es evidente: el heroí­smo. Hesí­odo, por su parte, delinea todo un esquema en relación con la justicia y construye una Teogoní­a que anuncia, en el principio de todas las cosas, la noción del â??caosâ?.

    El heroí­smo homérico y el mundo delineado en sus poemas, así­ como la justicia hesí­odica y sus reflexiones en torno al caos y los dioses, sirven como base para el pensamiento abstracto de los siglos posteriores. Y es que si bien estas ideas no son en sí­ mismas el fundamento estricto para el análisis de los primeros filósofos, si surge a partir de ellas un pensamiento nuevo, renovado, diferente al de los â??antepasadosâ?.

    Las filosofí­as que se desarrollarán en los periodos cosmológico, antropológico y sistemático, serán un esquema diferente y hasta opuesto al â??perfeccionismo y determinismoâ? del pasado, y generarán la nota esencial de la filosofí­a toda, esto es, la razón y el nuevo pensamiento abstracto y su consecuencia: una nueva estructura de preguntas y respuestas en torno al hombre, al mundo y al lugar y sentido de este hombre en este mundo.

    Esto último es fundamental en la actual disciplina filosófica, la que sostiene que son más importantes los problemas y las preguntas, que las respuestas que se deduzcan o infieran.

  • AGORA por Carin

    Piensa en un númeroâ?¦ multiplí­calo por dosâ?¦ súmale seisâ?¦ divide entre dosâ?¦ resta el número que habí­as pensado originalmenteâ?¦ te quedoâ?¦ tresâ?¦

    Si ese no fue el resultado te sugiero que revises tus operaciones. Si persiste el error creo que requerirás unas clases particulares de matemáticas. Sin embargo si tu resultado fue correcto, es decir, si al final obtuviste tres, entonces hay que insistir en dos cosas: primera, aún recuerdas tus clases de algebra o â??aritmética de letrasâ? y, segunda, el que suscribe es un mago o puede leer tu menteâ?¦

    ¿Acaso los matemáticos son magos o los magos son matemáticos?

    Definitivamente los matemáticos tienen una mente muy especial, singular. Sin embargo lo anterior no significa que dichos profesionistas alcancen un nivel de conocimiento o generen una estructura mental superior a la de las demás personas.

    Lo cierto es que la habilidad matemática no es común a todos. Cuántas veces no hemos oí­do decir a muchas personas que â??odian las matemáticasâ? o que â??estudian Derecho para evitar enfrentarse a los númerosâ?. Desafortunadamente la mayorí­a de las personas desconocen que la matemática está en todas partes. La afirmación pitagórica de un mundo hecho de números es, en realidad, cierta y congruente. Esta afirmación es un supuesto necesario para el estudio propio de la fí­sica ya que en la base de sus afirmaciones está la idea de medición de los fenómenos fí­sicos. Sin la matemática la fí­sica quedarí­a fatalmente reducida a un único conjunto de definiciones sin ninguna aplicación práctica.

    Pero de mayor importancia en el campo propio de las matemáticas y, en relación con la divulgación de dicha disciplina, es el que la matemática, más que â??un conjunto de números, figuras, formas, operaciones, ecuacionesâ?¦â?, es un estadio de la cultura que sustenta, fundamenta y formaliza a todas las disciplinas en el orden de las ciencias naturales y, también, sociales.

    Pero la matemática también incluye una cara lúdica como se ha expresado al inicio de este escrito. La matemática, como el mar, es bella en la superficie pero lo es aún más en la profundidad. Esta ciencia formal no solo es difí­cil, compleja; es también bella y de una belleza muy particular. ¿Acaso los matemáticos no estudian las bellas formas de los fractales?

    *Carin miembro del Changarro que se transmite los miercoles por idestmedia.com.mx ademas de ser licenciado en Derecho y amante de las matematicas y el libre pensamiento.